Để tính chiều cao AH và diện tích tam giác ABC, ta có thể tiến hành theo các bước sau:

### Thông tin đã cho:
- BC = 20 cm
- Góc B = 40°
- Góc C = 60°

### Bước 1: Tính góc A
Góc A có thể tính theo quy tắc tổng các góc của tam giác:
\[
A = 180° - B - C = 180° - 40° - 60° = 80°
\]

### Bước 2: Tính độ dài cạnh AB và AC
Sử dụng định luật sin:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}
\]
Với BC = 20 cm và sin(B) = sin(40°), sin(C) = sin(60°), sin(A) = sin(80°):
\[
\frac{20}{\sin 80°} = \frac{AB}{\sin 40°}
\]
\[
AB = \frac{20 \cdot \sin 40°}{\sin 80°}
\]
Tính giá trị \(AB\):
\[
AB \approx \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9848} \approx 13.05 \text{ cm}
\]

Tương tự cho AC:
\[
\frac{20}{\sin 80°} = \frac{AC}{\sin 60°}
\]
\[
AC = \frac{20 \cdot \sin 60°}{\sin 80°}
\]
Tính giá trị \(AC\):
\[
AC \approx \frac{20 \cdot 0.8660}{0.9848} \approx 17.56 \text{ cm}
\]

### Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC
Sử dụng công thức diện tích:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]
Thay số:
\[
S_{ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 13.05 \cdot 17.56 \cdot \sin 80°
\]
\[
S_{ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 13.05 \cdot 17.56 \cdot 0.9848 \approx 113.33 \text{ cm}^2
\]

### Bước 4: Tính chiều cao AH
Diện tích cũng có thể tính bằng công thức khác:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
Sử dụng giá trị vừa tính \(S_{ABC}\):
\[
113.33 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AH
\]
Giải để tìm AH:
\[
AH = \frac{113.33 \cdot 2}{20} \approx 11.33 \text{ cm}
\]

### Kết quả:
- Chiều cao AH ≈ 11.33 cm
- Diện tích S_{ABC} ≈ 113.33 cm²