Để giải phương trình

\[
\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{4}{x^2 - 1},
\]

ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn biểu thức:**
Nhận thấy rằng \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Từ đó, phương trình có thể viết lại như sau:

\[
\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{4}{(x - 1)(x + 1)}.
\]

2. **Tính tổng các phân số bên trái:**
Đưa về mẫu chung:

\[
\frac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{(x - 1)(x + 1)}.
\]

Tính toán từng phần:

\[
(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x.
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{4x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{(x - 1)(x + 1)}.
\]

3. **Rút gọn phương trình:**
Phương trình trở thành:

\[
4x = 4.
\]

Chia cả hai vế cho 4 (với điều kiện \(x \neq 0\)):

\[
x = 1.
\]

4. **Kiểm tra điều kiện:**
Tuy nhiên, giá trị \(x = 1\) sẽ dẫn đến mẫu số \(x - 1 = 0\). Do đó, \(x = 1\) không phải là nghiệm hợp lệ.

5. **Kết luận:**
Phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn.