Để giải bài tập này, ta sẽ sử dụng một vài định lý của hình học về tứ giác và tính chất của trung điểm.

### a) Chứng minh \( MN \parallel AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \)

1. **Trung điểm**: M và N là trung điểm của AB và BC. Vì vậy, theo định lý trung điểm, đoạn MN nối hai trung điểm của hai cạnh bên trong tứ giác ABCD.
2. **Song song**: Đoạn MN sẽ song song với đoạn AC, tức là \( MN \parallel AC \).
3. **Độ dài**: Theo định lý về trung điểm, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2}AC.
\]

### b) Chứng minh \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \)

1. **Tương tự như trên**: P và Q là trung điểm của CD và DA.
2. **Song song**: Đoạn PQ cũng sẽ song song với đoạn AB, tức là \( PQ \parallel AC \).
3. **Độ dài**: Cũng dựa vào định lý trung điểm:
\[
MN = PQ.
\]

### c) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

1. **Đặc điểm của hình bình hành**: Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
2. **Từ điều a và b**: Ta đã chứng minh rằng:
- \( MN \parallel AC \) và \( MN = PQ \)
- \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \)
3. Khi đó, ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, tức là theo định nghĩa hình bình hành:
\[
\text{Tứ giác } MNPQ \text{ là hình bình hành.}
\]

Như vậy, các phần được yêu cầu đã được chứng minh.