Để xác định hệ số \( a \) và \( b \) của hàm số \( y = ax + b \) đi qua hai điểm \( M(-1; 2) \) và \( N(\sqrt{3}; -7) \), ta sẽ sử dụng tọa độ của các điểm này để lập hệ phương trình.

1. Với điểm \( M(-1, 2) \):
\[
2 = a \cdot (-1) + b \quad \Rightarrow \quad -a + b = 2 \quad \text{(1)}
\]

2. Với điểm \( N(\sqrt{3}, -7) \):
\[
-7 = a \cdot \sqrt{3} + b \quad \Rightarrow \quad a \sqrt{3} + b = -7 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
-a + b = 2 \quad \text{(1)} \\
a \sqrt{3} + b = -7 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Tiến hành giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta có:

\[
b = a + 2
\]

Thay giá trị của \( b \) vào phương trình (2):

\[
a \sqrt{3} + (a + 2) = -7
\]

Giải phương trình trên:

\[
a \sqrt{3} + a + 2 = -7 \\
a \sqrt{3} + a = -9 \\
a (\sqrt{3} + 1) = -9 \\
a = \frac{-9}{\sqrt{3} + 1}
\]

Để đơn giản hóa, ta nhân tử xanh và liên hợp:

\[
a = \frac{-9(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-9(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{-9(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{-9\sqrt{3} + 9}{2}
\]

Sau khi tìm được \( a \), ta thế vào để tìm \( b \):

\[
b = a + 2 = \frac{-9\sqrt{3} + 9}{2} + 2 = \frac{-9\sqrt{3} + 9 + 4}{2} = \frac{-9\sqrt{3} + 13}{2}
\]

Do đó, các giá trị cần tìm là:

\[
a = \frac{-9\sqrt{3} + 9}{2}, \quad b = \frac{-9\sqrt{3} + 13}{2}
\]