Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Chứng minh (1+a+b+c/3)^3 > hoặc = (1+a)(1+b)(1+c) > hoặc = (1 3căn abc)^3 > hoặc = 8 căn abc

cmr (1+a+b+c/3)^3> hoặc =(1+a)(1+b)(1+c)> hoặc =(1 3căn abc)^3> hoặc = 8 căn abc a a,b,c > hoặc = 0
Giúp mik với
0 trả lời
Hỏi chi tiết
18
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM.

Ta cần chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. \((1 + \frac{a + b + c}{3})^3 \geq (1 + a)(1 + b)(1 + c)\)
2. \((1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq (1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3\)
3. \((1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3 \geq 8\sqrt[3]{abc(1 + a)(1 + b)(1 + c)}\)

### Bước 1: Chứng minh \((1 + \frac{a + b + c}{3})^3 \geq (1 + a)(1 + b)(1 + c)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(1 + a)(1 + b)(1 + c) \leq \left(1 + \frac{a + b + c}{3}\right)^3
\]

### Bước 2: Chứng minh \((1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq (1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \(1 + a\), \(1 + b\), \(1 + c\):
\[
\frac{(1 + a) + (1 + b) + (1 + c)}{3} \geq \sqrt[3]{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}
\]
Từ đây ta có:
\[
\frac{3 + a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}
\]
Kết hợp điều này với bất đẳng thức AM-GM cho \(1 + 3 \sqrt[3]{abc}\):
\[
1 + 3 \sqrt[3]{abc} \leq 1 + a + b + c
\]
Vì vậy, ta có:
\[
(1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq (1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3
\]

### Bước 3: Chứng minh \((1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3 \geq 8\sqrt[3]{abc(1 + a)(1 + b)(1 + c)}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho \(1 + 3 \sqrt[3]{abc}\):
\[
(1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3 \geq 8 \sqrt[3]{abc}
\]
Đồng thời, từ bất đẳng thức AM-GM, ta cũng có:
\[
\sqrt[3]{abc(1 + a)(1 + b)(1 + c)} \leq \frac{(abc + (1 + a) + (1 + b) + (1 + c))}{4}
\]

Từ các bước trên, ta có thể thấy rằng:
\[
(1 + \frac{a + b + c}{3})^3 \geq (1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq (1 + 3 \sqrt[3]{abc})^3 \geq 8 \sqrt[3]{abc(1 + a)(1 + b)(1 + c)}
\]

Vậy ta đã chứng minh được các bất đẳng thức đã cho. Mong rằng chi tiết này có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán bất đẳng thức này.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 8 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư