Để chứng minh các phần của bài tập, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và công thức hình học.

### a) Tứ giác ABEC là hình thoi.

1. **Xét tứ giác ABEC**:
- Ta có AB = AC (theo đề bài)
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Đặt ME = MA, như vậy AE = AB (có ME = MA).

2. **Chứng minh AB = AE và AC = AE**:
- Vì AB = AC và AE = AB, ta có AB = AE = AC.
- Như vậy, tứ giác ABEC có hai cạnh đối diện bằng nhau và có chung một đỉnh, nên tứ giác ABEC là hình thoi.

### b) D, C, E thẳng hàng.

1. **Xét điểm M**:
- M là trung điểm của BC.
- ME = MA và M nằm trên đoạn thẳng BC.

2. **Chứng minh D, C, E thẳng hàng**:
- Phân tích vectơ:
- Xét vectơ \(\vec{MA}\) và \(\vec{ME}\), do đó, \(\vec{ME} = -\vec{MA}\).
- Ta có:
- \(\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{MA} + \vec{AE}\) (vì AB = AC).
- Nghĩa là D, C, E cùng nằm trên đường thẳng qua M vì E là điểm nằm trên tia đối của MA.

### c) C là trung điểm DE.

1. **Chứng minh C là trung điểm**:
- C nằm giữa D và E trong không gian 2 chiều.
- Bởi vì D, C, E thẳng hàng, ta sẽ có:
- \(DC = CE\).

2. **Kết luận**:
- Do D và E ở hai bên của C với đặc điểm thẳng hàng, mà chiều dài tối dài là bằng nhau, nên C là trung điểm của DE.

### Tổng kết:
- Tứ giác ABEC là hình thoi;
- D, C, E thẳng hàng;
- C là trung điểm của đoạn thẳng DE.

Đó là các bước và lập luận để giải bài tập theo yêu cầu.