CMR:căn bậc 2 của (2)+căn bậc 2 của(3)+căn bậc 2 của(5) là 1 số vô tỉ

Để chứng minh rằng \( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \) là một số vô tỉ, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử \( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \) là số hữu tỉ. Khi đó, có thể viết:

\[
\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} = r
\]

với \( r \) là một số hữu tỉ. Từ đó, ta có thể nhận được:

\[
\sqrt{5} = r - \sqrt{2} - \sqrt{3}
\]

Bình phương hai vế ta được:

\[
5 = (r - \sqrt{2} - \sqrt{3})^2
\]

Mở rộng phía bên phải:

\[
5 = r^2 - 2r(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2
\]

Tiếp tục tính \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} \), do đó ta có:

\[
5 = r^2 - 2r(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 5 + 2\sqrt{6}
\]

Rút gọn phương trình:

\[
0 = r^2 - 2r(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 2\sqrt{6}
\]

Từ đây, chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

\[
2r(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = r^2 + 2\sqrt{6}
\]

Làm cho hai thành phần trái và phải trở nên hợp lý hơn để có thể rút gọn. Phía bên phải chứa \( \sqrt{6} \), nếu \( r \) là một số hữu tỉ, thì \( 2r(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \) cũng là một số hữu tỉ. Tuy nhiên, 2√6 lại là một số vô tỉ (số vô tỉ không thể bằng số hữu tỉ). Điều này tạo ra một mâu thuẫn.

Do đó, giả sử ban đầu rằng \( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \) là một số hữu tỉ là không đúng.

Kết luận:
\[
\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \text{ là một số vô tỉ.}
\]