Trong tam giác ABC, để chứng minh rằng ba đoạn thẳng ID, IE và IF đều bằng nhau, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các tia phân giác.

### Các bước chứng minh:

1. **Ký hiệu các góc trong tam giác ABC**:
- Gọi các góc như sau: \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\), \(\angle C = \gamma\).
- Do đó, ta có: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).

2. **Xem xét hình dạng của tam giác**:
- Tia phân giác BI và CI cắt nhau tại I. Theo định nghĩa, I là giao điểm của hai tia phân giác, có nghĩa là:
\[\frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC}\]

3. **Xác định các góc**:
- Gọi \( \angle AID = 90^\circ \), \( \angle BIE = 90^\circ \) và \( \angle CIF = 90^\circ \).

4. **Sử dụng định lý về đoạn vuông góc**:
- Do \(ID \perp AB\), \(IE \perp BC\), \(IF \perp AC\), ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông AID, BIE, CIF.

5. **So sánh các đoạn thẳng**:
- So sánh các tam giác vuông AID, BIE và CIF:
- Ta có ba tam giác vuông với chung một góc tại I và các cạnh kề thuộc các cạnh của tam giác ABC.

6. **Áp dụng định lý sin**:
- Sử dụng định lý sin cho các tam giác vuông, ta thấy được rằng:
\[
ID = r \cdot \frac{AC}{AB + BC}, \quad IE = r \cdot \frac{AB}{AC + BC}, \quad IF = r \cdot \frac{BC}{AC + AB}.
\]
- Từ việc sử dụng tính chất đoạn thẳng, ta thấy rằng độ dài các đoạn vuông góc từ I đến các cạnh của tam giác ABC phụ thuộc vào chiều dài cạnh và góc ở I.

7. **Kết luận**:
- Qua những lập luận trên và nhờ các góc tương ứng cũng bằng nhau (do tính chất của tia phân giác), ta có thể kết luận rằng \(ID = IE = IF\).

Vậy từ những lập luận và chứng minh trên, ta đã minh chứng được rằng \(ID = IE = IF\) là đúng.