Để chứng minh OE là đường trung trực của AB và CD trong hình thang cân ABCD, ta dựa vào các tính chất của hình thang cân và các đoạn thẳng liên quan:

1. **Chứng minh OA = OB và OC = OD:**
- Do ABCD là hình thang cân, nên các đoạn AB và CD song song và có độ dài bằng nhau. Kí hiệu OA = OB và OC = OD là hợp lý.

2. **Chứng minh O là trung điểm của AC và BD:**
- E là giao điểm của AC và BD, do đó OE sẽ chia AC thành hai đoạn bằng nhau (AE = EC) và chia BD thành hai đoạn bằng nhau (BE = ED).

3. **Chứng minh rằng OE vuông góc với AB và CD:**
- Vì O là trung điểm của cả AC và BD, và AB // CD, sẽ có OE vuông góc với cả hai đoạn thẳng này.

### Từ các kết luận trên, ta có thể suy ra:
- OE là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD, do điều này có nghĩa là OE không chỉ chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau mà còn vuông góc với chúng.

### Tóm lại:
- Chứng minh:
- OA = OB (do tính chất hình thang cân)
- OC = OD (do tính chất hình thang cân)
- O là trung điểm của AC và BD
- OE vuông góc với AB và CD

Kết luận rằng OE là đường trung trực của AB và CD.