Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, ta lần lượt giải cả hai phần a) và b).

### a) Chứng minh đẳng thức:
\[
(a^2 - 1)^2 + 4a^2 = (a^2 + 1)^2
\]

**Bước 1:** Tính \((a^2 - 1)^2\) và \((a^2 + 1)^2\)

\[
(a^2 - 1)^2 = a^4 - 2a^2 + 1
\]
\[
(a^2 + 1)^2 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

**Bước 2:** Thay vào đẳng thức:

\[
a^4 - 2a^2 + 1 + 4a^2 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

**Bước 3:** Rút gọn vế trái:

\[
a^4 - 2a^2 + 1 + 4a^2 = a^4 + 2a^2 + 1
\]

Vế trái trở thành:

\[
a^4 + 2a^2 + 1
\]

**Kết luận:** Vế trái = Vế phải, đẳng thức đã được chứng minh.

### b) Chứng minh đẳng thức:
\[
(x - y)^2 + (x + y)^2 + 2(x^2 - y^2) = 4x^2
\]

**Bước 1:** Tính \((x - y)^2\) và \((x + y)^2\):

\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]
\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

**Bước 2:** Thay vào đẳng thức:

\[
(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) + 2(x^2 - y^2)
\]

**Bước 3:** Rút gọn từng phần:

\[
x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 + 2(x^2 - y^2)
\]

\[
= 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 - y^2)
\]

**Bước 4:** Tính phần \(2(x^2 - y^2)\):

\[
2(x^2 - y^2) = 2x^2 - 2y^2
\]

**Bước 5:** Cộng lại:

\[
2x^2 + 2y^2 + 2x^2 - 2y^2 = 4x^2
\]

**Kết luận:** Đẳng thức đã được chứng minh.

Do đó, kết quả là cả hai đẳng thức đều đúng.