Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu từ a) đến e).

### a) Chứng minh rằng: \( AG \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

Xét tam giác cân \( \triangle ABC \) với \( AB = AC \). Khi đó, các đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \) sẽ tạo thành tam giác vuông tại điểm \( G \), nơi chúng cắt nhau. Vì tam giác cân có tính đối xứng qua đường trung tuyến nên \( AG \) là tia phân giác của \( \angle BAC \).

### b) Chứng minh rằng: \( GM = GN \).

Do \( G \) là điểm giao nhau của hai đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \), theo tính chất của trọng tâm trong tam giác thì \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ \( 2:1 \). Do đó, \( GM = GN \).

### c) Chứng minh rằng: \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( MN \).

Khi \( G \) là trọng tâm và đồng thời là điểm giao nhau của \( MN \) (các trung điểm của \( AC \) và \( AB \)), ta có (theo tính chất đường trung trực) rằng \( AG \) vuông góc với \( MN \) và đi qua trung điểm \( G \) của \( MN \). Vậy \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( MN \).

### d) Chứng minh rằng: \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \).

Tương tự, \( AG \) cắt \( BC \) tại điểm \( G \), là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) do \( A \) là đỉnh đối xứng và điểm \( G \) gây ra bởi hai trung tuyến. Thực hiện tương tự, ta chứng minh được \( AG \) vuông góc với \( BC \) tại điểm \( G \), từ đó \( AG \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \).

### e) Gọi \( P \) là trung điểm \( BC \). CMR: \( A, G, P \) thẳng hàng.

Từ định nghĩa, nếu \( P \) là trung điểm của \( BC \) và chúng ta đã chứng minh rằng \( A, G, P \) nằm trên cùng một đường thẳng (do tính chất của tam giác cân), ta có \( A, G, P \) thẳng hàng.

Nếu cần thêm thông tin hoặc giải chi tiết hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết nhé!