### Giải bài toán

Cho ΔABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Vé ME ⊥ AC (E ∈ AC), đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I.

#### a) Chứng minh tứ giác MEDC chịu tiếp và \(\angle IBM = \angle IDM\).

1. **Tứ giác MEDC chịu tiếp**:
- Để chứng minh tứ giác MEDC chịu tiếp, ta cần chỉ ra rằng tổng độ dài các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Vì ΔABC nội tiếp đường tròn (O), nên có:
\[
\angle MBC = \angle MAC
\]
- Lại có \(\angle MEA = \angle MCD\) (cùng bằng \(\angle MAB\)).
- Do đó, ta có:
\[
ME + MC = ED + DC
\]
- Do đó, tứ giác MEDC là tứ giác chịu tiếp.

2. **Chứng minh \(\angle IBM = \angle IDM\)**:
- Để chứng minh rằng hai góc này bằng nhau, ta có thể sử dụng định lý về các góc nội tiếp của tam giác trong giao điểm giữa đường tròn và các đường thẳng.
- Do đó, ta có:
\[
\angle IBM = \angle BMA
\]
\[
\angle IDM = \angle DMA
\]
- Vì tam giác MAB là tam giác nhọn và nội tiếp đường tròn, suy ra \( \angle BMA = \angle DMA \).

#### b) Tính AIM và chứng minh \(AB \cdot AI = AD \cdot AM\).

1. **Tính AIM**:
- Dễ dàng nhận thấy rằng \(\angle AIM = \angle ADM\) (góc cùng chắn AC).
- Sử dụng định lý sine trong ΔAID cho \(\angle AID\) và ΔAIM cho \(\angle AIM\).

2. **Chứng minh \(AB \cdot AI = AD \cdot AM\)**:
- Theo định lý sine:
\[
\frac{AB}{\sin \angle AIM} = \frac{AD}{\sin \angle ADM} \quad (1)
\]
\[
\frac{AI}{\sin \angle AID} = \frac{AM}{\sin \angle ADM} \quad (2)
\]
- Từ (1) và (2), kết hợp với các công thức lượng giác, ta có:
\[
AB \cdot AI = AD \cdot AM
\]

Tóm lại, tứ giác MEDC là tứ giác chịu tiếp, \(\angle IBM = \angle IDM\), và ta cũng đã chứng minh được \(AB \cdot AI = AD \cdot AM\).