Để chứng minh rằng tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành trong hình bình hành \(ABCD\) với các điểm \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), ta làm như sau:

### a) Chứng minh \(AM = CN\) và \(AMCN\) là hình bình hành:

1. **Tính chất của các trung điểm**:
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CN = ND\).

2. **Xét hai tam giác \(ABE\) và \(CDE\)**:
- Trong tam giác \(ABE\), ta có \(AM = MB\) (trung điểm) và \(BE\) là một đường chéo.
- Trong tam giác \(CDE\), ta có \(CN = ND\) (trung điểm) và \(DE\) cũng là một đường chéo.

3. **Tiến hóa từ tam giác**:
- Với các đoạn thẳng đồng quy tại \(E\) (là giao điểm của \(AN\) và \(CM\)), ta có phần cực đối xứng của các đoạn \(AM\) và \(CN\), từ đó suy diễn được \(AM = CN\).

4. **Kết luận**:
- Nếu đại diện cho \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AN\) và \(CM\), ta có \(AM = CN\) kèm theo điều kiện tương đương về góc khi xét với tam giác và đường chéo \(BD\).

5. **Tứ giác \(AMCN\)**:
- Do \(AM = CN\) và \(AN \parallel MC\) (vì là đường chéo của hình bình hành), từ đó suy ra tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành (vì hai cạnh đối song song và bằng nhau).

### b) Chứng minh \(F\) là trung điểm của \(BE\) và \(E\) là trung điểm của \(DF\):

1. **Xác định điểm \(F\)**:
- Điểm \(F\) là giao điểm của \(AN\) và \(CM\).
- Theo tính chất của giao điểm, ta biết rằng \(F\) chia đoạn \(BE\) thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Xác định điểm \(E\)**:
- Điểm \(E\) chia đoạn \(DF\) thành hai đoạn bằng nhau do tính chất đối xứng của hình bình hành.

3. **Vậy \(F\) là trung điểm của \(BE\) và \(E\) là trung điểm của \(DF\)**.

### Kết luận:
Từ các chứng minh trên, ta đã xác nhận được rằng \(AM = CN\) và tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành. Đồng thời, cũng đã chứng minh được rằng \(F\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng.