Giải thích các bước trong bài toán sau

Bài toán này liên quan đến việc xác định giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x + m + \sqrt{1 - x^2} \). Để giải thích rõ các bước, ta sẽ đi qua từng phần chi tiết.

### Các bước giải

1. **Xét hệ thức hàm số**:
- Hàm số đã cho là \( y = x + m + \sqrt{1 - x^2} \).
- Tập xác định là \( D = [-1, 1] \) vì biểu thức \( \sqrt{1 - x^2} \) chỉ xác định khi \( 1 - x^2 \geq 0 \).

2. **Tính đạo hàm hàm số**:
- Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\]
- Ta đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:
\[
1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 1
\]
- Từ đó, điều này dẫn đến:
\[
x = \sqrt{1 - x^2}
\]

3. **Giải phương trình tìm giá trị của \( x \)**:
- Bình phương hai vế:
\[
x^2 = 1 - x^2 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
- Do \( x \) nằm trong khoảng \( [-1, 1] \), ta có giá trị của \( x \) là \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) (xét trường hợp \( x \geq 0 \)).

4. **Tính giá trị hàm số tại các giá trị đặc biệt**:
- Tại \( x = -1 \):
\[
y(-1) = -1 + m + \sqrt{1 - (-1)^2} = -1 + m + 0 = m - 1
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = 1 + m + \sqrt{1 - 1^2} = 1 + m + 0 = m + 1
\]
- Tại \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \):
\[
y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + m + \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + m + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + m + \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + m = \sqrt{2} + m
\]

5. **So sánh các giá trị**:
- Ba giá trị cần so sánh là:
\[
y(-1) = m - 1, \quad y(1) = m + 1, \quad y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + m
\]

6. **Điều kiện để giá trị lớn nhất là \( \sqrt{2} \)**:
- Để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( \sqrt{2} \), ta có hệ điều kiện:
- \( \sqrt{2} + m \geq m - 1 \) (tương đương với \( \sqrt{2} \geq -1 \) - luôn đúng)
- \( \sqrt{2} + m \geq m + 1 \) (tương đương với \( \sqrt{2} \geq 1 \) - đúng)
- Do đó, kết luận là \( m \) phải thỏa mãn điều kiện \( m = \sqrt{2} - 1 \) để giá trị lớn nhất của hàm số đạt \( \sqrt{2} \).

### Kết luận

Các bước trên giúp chúng ta tìm ra giá trị của \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là \( \sqrt{2} \). Hy vọng giải thích này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!