Giải phương trình lượng giác

Để giải phương trình lượng giác:

\[
2 \sin x + 2\sqrt{3} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}
\]

**Bước 1: Phân tích phương trình**

Ta sẽ biến đổi phương trình về dạng dễ xử lý hơn. Đầu tiên, nhân mỗi bên với \(\sin x \cos x\) để loại bỏ mẫu số:

\[
2\sin^2 x \cos x + 2\sqrt{3} \sin x \cos^2 x = \sqrt{3} \sin x + \cos x
\]

**Bước 2: Chuyển tất cả về một bên**

Ta dời các hạng tử về một bên:

\[
2\sin^2 x \cos x + 2\sqrt{3} \sin x \cos^2 x - \sqrt{3} \sin x - \cos x = 0
\]

**Bước 3: Rút gọn**

Sắp xếp các hạng tử:

\[
2\sin^2 x \cos x + (2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3})\sin x - \cos x = 0
\]

**Bước 4: Xét từng trường hợp**

Để đơn giản hóa và dễ tính toán, ta có thể xét \(\sin x = t\) và \(\cos x = \sqrt{1 - t^2}\).

Thay vào phương trình trên, ta thu được một phương trình bậc 2 theo \(t\):

\[
2t^2\sqrt{1 - t^2} + (2\sqrt{3} (1 - t^2) - \sqrt{3})t - \sqrt{1 - t^2} = 0
\]

**Bước 5: Phân tích và giải phương trình**

Tuy nhiên, do biểu thức này có thể phức tạp, ta có thể thử một số giá trị cụ thể cho \(x\) để tìm nghiệm.

**Kiểm tra các giá trị thông thường:**

- **\(\frac{\pi}{3}\)**:
\[
2 \sin \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]
Và kiểm tra bên phải:
\[
\frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} + \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}
\]
Khác nhau, nên không là nghiệm.

Tiếp tục với các giá trị khác hoặc dùng máy tính để giải phương trình bậc hai hoặc sử dụng đồ thị nếu cần thiết.

**Bước 6: Kết luận**

Tìm nghiệm của phương trình trên khá phức tạp, vì vậy hãy thử nghiệm giá trị hoặc sử dụng công cụ hỗ trợ để tìm ra nghiệm chính xác. Sau khi tìm nghiệm, bạn cần kiểm tra lại trong phương trình gốc để đảm bảo chính xác.