Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện tính toán theo từng phần.

### a) Tính độ dài AB:

Trong hình thang cân ABCD, có \( AB \parallel CD \) và \( AD = 2.1 \) cm, \( CD = 6 \) cm, đồng thời góc \( \angle D = 48^\circ \).

1. Đầu tiên, tính chiều cao \( h \) của hình thang từ đỉnh \( D \) xuống cạnh \( CD \) bằng công thức:
\[
h = AD \cdot \sin(\angle D) = 2.1 \cdot \sin(48^\circ)
\]

Tính giá trị này:
\[
h \approx 2.1 \cdot 0.7431 \approx 1.561 \, \text{cm}
\]

2. Tiếp theo, dùng định lý Pitago cho tam giác vuông \( DCE \) (với \( E \) là điểm chiếu của \( D \) lên \( CD \)):
\[
DE = AD \cdot \cos(48^\circ) = 2.1 \cdot \cos(48^\circ)
\]
\[
DE \approx 2.1 \cdot 0.6691 \approx 1.405 \, \text{cm}
\]

3. Sử dụng độ dài này để tính độ dài \( AB \):
\[
AB = CD - 2 \cdot DE = 6 - 2 \cdot 1.405 \approx 6 - 2.81 \approx 3.19 \, \text{cm}
\]

### b) Tính diện tích hình thang ABCD:

Diện tích \( S \) của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
Thay vào:
\[
S = \frac{(3.19 + 6) \cdot 1.561}{2}
\]
\[
S \approx \frac{9.19 \cdot 1.561}{2} \approx \frac{14.36819}{2} \approx 7.184 \, \text{cm}^2
\]

### Kết luận:

- Độ dài \( AB \approx 3.19 \) cm.
- Diện tích \( S \approx 7.184 \) cm².