Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán, ta làm từng phần một.

### a. Chứng minh: Tam giác DNE = Tam giác EMD

**Giả thiết:**
- Góc D = góc E (góc D và góc E là hai góc bằng nhau).
- Tia phân giác của góc D cắt AE tại M.
- Tia phân giác của góc E cắt AD tại N.

**Chứng minh:**
1. Đặt \( \angle D = \angle E = \alpha \).
2. Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
- \( \frac{AM}{ME} = \frac{AD}{DE} \) (đối với tia phân giác DM).
- \( \frac{AN}{ND} = \frac{AE}{ED} \) (đối với tia phân giác EN).
3. Ta có hai tam giác DNE và EMD.
4. Xét các góc tương ứng:
- \( \angle DNE = \angle EMN \) (góc chung giữa tam giác),
- \( \angle DEN = \angle EMD = \alpha \).
5. Vậy, ta có:
- \( \angle DNE = \angle EMN \)
- \( DE = DE \) (cạnh chung).
6. Suy ra từ hai cặp góc và cạnh chung, theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (GGC), ta có:
\[
\Delta DNE \cong \Delta EMD
\]

### b. Gọi I là giao điểm của DM và EN. Chứng minh AI vuông góc với DE

**Chứng minh:**
1. Vì \( \Delta DNE \cong \Delta EMD \) nên ta có \( DN = EM \) và \( DE = DE \) (cạnh chung).
2. Gọi I là giao điểm của DM và EN.
3. Ta sẽ có \( M \) nằm trên AE và \( N \) nằm trên AD. Vì DE là cạnh đối diện tác động vào hai tam giác này, nên điểm I là hình chiếu của điểm A lên đoạn DE.
4. Bởi hai tam giác DNE và EMD đồng dạng (từ phần trước), các góc \( \angle DNE \) và \( \angle EMN \) bằng nhau và \( AI \) sẽ là đường vuông góc với DE.
5. Từ đó, suy ra rằng đường AI vuông góc với đoạn DE.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AI \perp DE \).

### Kết luận
Ta đã hoàn thành cả hai yêu cầu trong bài toán. Hy vọng những phân tích ở trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ hơn về hình học trong tam giác. Cảm ơn bạn!