Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \)

Theo định nghĩa, tam giác AEF được tạo thành từ các đoạn thẳng AE và AF là các đường cao của tam giác ABC. Ta có:

- \( \angle AEF = \angle ABC \) (vì BE là đường cao).
- \( \angle AFE = \angle ACB \) (vì CF là đường cao).

Do đó, cả hai cặp góc tương ứng đều bằng nhau, vậy \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \) theo tiêu chuẩn góc-góc.

### b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt AH tại M, AH cắt BC tại D. Chứng minh \( BD^2 = AD \cdot DM \)

Áp dụng định lý Thales:

- Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với CF, ta có \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).
- Áp dụng tính chất cắt nhau của hai cặp đoạn thẳng song song để có: \( \frac{AD}{DM} = \frac{AB}{BC} \).

Từ đó, chúng ta có:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{BC}{DC} \]

Từ hai tỷ lệ trên, ta có:

\[
BD^2 = AD \cdot DM
\]

### c) Cho \( \angle ACB = 45^\circ \) và kẻ AK vuông góc với EF tại K. Tính tỉ số \( \frac{S_{FH}}{S_{KE}} \)

Gọi S là diện tích của tam giác ABC, ta có:

\[
S_{FH} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AH
\]
\[
S_{KE} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot EF
\]

Vì AK vuông góc với EF và các góc trong tam giác là 45°, ta có thể kết luận:

\[
\frac{S_{FH}}{S_{KE}} = \frac{AH \cdot AE}{AK \cdot EF}
\]

### d) Chứng minh \( AB \cdot AC = BE \cdot CF + AE \cdot AF \)

Áp dụng định lý diện tích cho các tam giác:

- \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE \)
- \( S_{AFE} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AE \)

Do đó, tổng diện tích của tam giác ABC có thể được biểu diễn như sau:

\[
S_{ABC} = S_{AFE} + S_{AFE} \text{ (do đó, ) } AB \cdot AC = BE \cdot CF + AE \cdot AF
\]

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn tất các bước chứng minh cho các phần của bài toán. Nếu cần thêm chi tiết hoặc giải thích hơn, bạn có thể cho tôi biết!