Để giải các phương trình tìm \( x \), ta có thể sử dụng các tính chất của lũy thừa. Dưới đây là phương pháp giải cho từng cần:

### a) \( \left( \frac{1}{16} \right)^x = \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \)

Biến đổi \( \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \):
\[
\left( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \right)^x = \left( \frac{1}{2} \right)^{10}
\]
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^{4x} = \left( \frac{1}{2} \right)^{10}
\]
Vậy, \( 4x = 10 \) suy ra \( x = \frac{10}{4} = 2.5 \).

### b) \( \left( \frac{8}{13} \right)^x = \frac{64}{169} \)

Ta biết rằng \( \frac{64}{169} = \left( \frac{8}{13} \right)^2 \):
\[
\left( \frac{8}{13} \right)^x = \left( \frac{8}{13} \right)^2
\]
Vậy, \( x = 2 \).

### c) \( \left( \frac{1}{64} \right)^{x^{14}} = \left( -\frac{1}{8} \right)^{14} \)

Biến đổi \( \frac{1}{64} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 \) và \( -\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{8} \right)\):
\[
\left( \left( \frac{1}{4} \right)^3 \right)^{x} = \left( \frac{1}{8} \right)^{14}
\]
Vì cả hai bên đều có thể được viết lại với cùng cơ số,
\[
3x = 14
\]
Vậy, \( x = \frac{14}{3} \).

### d) \( \left( -\frac{2}{3} \right)^x = \frac{8}{27} \)

Ta có \( \frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^3 \), sử dụng dấu trừ:
\[
\left( -\frac{2}{3} \right)^x = \left( \frac{2}{3} \right)^3
\]
Vậy \( x = 3 \).

### e) \( \left( \frac{4}{9} \right)^{x+1} = \left( \frac{8}{27} \right)^6 \)

Biến đổi:
\[
\left( \frac{4}{9} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^2
\]
\[
\left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^{x+1} = \left( \frac{2}{3} \right)^{9}
\]
Vậy:
\[
2(x + 1) = 9 \Rightarrow 2x + 2 = 9 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}
\]

### f) \( \left( \frac{1}{16} \right)^{x^2} = \frac{1}{32^6} \)

Tính lại \( 32^6 = (2^5)^6 = 2^{30} \) và \( \frac{1}{32^6} = 2^{-30} \).

Biến đổi \( \frac{1}{16} = 2^{-4} \):
\[
(2^{-4})^{x^2} = 2^{-30} \Rightarrow -4x^2 = -30 \Rightarrow 4x^2 = 30 \Rightarrow x^2 = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}
\]
Vậy \( x = \pm\sqrt{\frac{15}{2}} \).

Tóm lại kết quả:

- a) \( x = 2.5 \)
- b) \( x = 2 \)
- c) \( x = \frac{14}{3} \)
- d) \( x = 3 \)
- e) \( x = \frac{7}{2} \)
- f) \( x = \pm\sqrt{\frac{15}{2}} \)