Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh các tứ giác ABCD và ACBE là hình thoi:

1. **Tính chất tam giác đều:** Trong tam giác đều ABC (A, B, C), các cạnh đều bằng nhau, tức là \(AB = AC = BC\). Các góc tại đỉnh bằng nhau, do đó \( \angle ABC = \angle ACB = \angle BAC = 60^\circ\).

2. **Chứng minh BM = MC và CN = NA:**
- Với BM là trung tuyến, M được xác định là trung điểm của AC nên \( AM = MC\). Từ đó, \( AB = AC\) suy ra \( BM = MC\).
- Tương tự cho CN, có N là trung điểm của AB nên \( AN = NB\) dẫn đến \( CN = NA\).

3. **Đối diện các cặp cạnh:**
- Tứ giác ABCD có các cạnh AB, AD, CD, BC. Ta có \( AB = CD\) (do tính chất tam giác đều) và \( BC = AD\) (tương tự).
- Tứ giác ACBE có các cạnh AC, AE, BE, CB. Tương tự ta chứng minh rằng \( AC = BE\) và \( BC = AE\).

4. **Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song:** Như vậy, cả hai tứ giác ABCD và ACBE có thể được chứng minh là hình thoi.

### b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng:

1. **Điểm D nằm trên đường kéo dài BM:** M là trung điểm của BD, tức D nằm trên đường thẳng kéo dài BM.

2. **Điểm E nằm trên đường kéo dài CN:** N là trung điểm của CE, do đó E nằm trên đường thẳng kéo dài CN.

3. **Các đường trung tuyến của tam giác đều:** Vì BM và CN đều là các trung tuyến của tam giác đều ABC và M, N đều nằm trên các trung điểm nên D, A, E phải thẳng hàng theo vị trí của các điểm.

### c) Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân:

1. **Chứng minh BC || DE:** Vì AE là một cặp cạnh song song với BC (do tính chất hình thoi) nên BC sẽ song song với DE.

2. **Cạnh đối diện bằng nhau:** Ta có các đoạn BE và CD cũng bằng nhau do BC = AD và DE = AC.

3. **Kết luận rằng tứ giác BCDE là hình thang cân:** Bởi vì hai cặp cạnh đối diện song song và cạnh bên là bằng nhau.

### Kết luận:

- Từ các chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng:
a) Tứ giác ABCD và ACBE là hình thoi.
b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
c) Tứ giác BCDE là hình thang cân.