Rút gọn biểu thức với x ≥ 2

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x + 2x - 1} - \sqrt{x - 2x - 1}} \) với \( x \geq 2 \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tính giá trị của \(\sqrt{x-1}\)**:
Khi \( x \geq 2 \), ta có \(\sqrt{x - 1} \geq 1\).

2. **Bước 1**: Đặt \( \sqrt{x - 1} = t \) thì \( x = t^2 + 1 \), với \( t \geq 1 \).

3. **Thay \( x \) vào biểu thức**:
- Căn bậc hai trong biểu thức sẽ trở thành các biểu thức theo \( t \).
- Biểu thức trở thành:
\[
P = \frac{\sqrt{(t^2 + 1) + 2t} + \sqrt{(t^2 + 1) - 2t}}{\sqrt{(t^2 + 1) + 2(t^2 - 1)} - \sqrt{(t^2 + 1) - 2(t^2 - 1)}}
\]

4. **Bước 2**: Tính toán các biểu thức:
- Tính từng cặp căn bậc hai trong tử số và mẫu số.

5. **Bước 3**: Tính giá trị cụ thể:
- Tử số:
\[
\sqrt{(t + 1)^2} + \sqrt{(t - 1)^2} = (t + 1) + (t - 1) = 2t
\]
- Mẫu số:
\[
\sqrt{(3t^2 - 1) - t} - \sqrt{(1 - t)} = \sqrt{2t^2} = \sqrt{2}t
\]

6. **Bước 4**: Rút gọn:
\[
P = \frac{2t}{\sqrt{2}t} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
P = \sqrt{2}
\]

Do đó, biểu thức rút gọn là \(\sqrt{2}\) với \( x \geq 2\).