Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, đường cao AH, biết AH = AB+CD/2. Chứng minh AC vuông góc với BD

Để chứng minh rằng đường chéo AC vuông góc với đường chéo BD trong hình thang cân ABCD với AB // CD và AH = \(\frac{AB + CD}{2}\), ta làm như sau:

1. **Đặt hệ tọa độ:** Giả sử A và B nằm trên trục hoành, cụ thể là A(0, 0) và B(a, 0). Do hình thang cân và AB // CD, ta có CD // AB và độ dài của hai cạnh bên AD và BC là bằng nhau, tức AD = BC.

2. **Xác định tọa độ các đỉnh:** Gọi độ dài của AB là a và độ dài của CD là b. Gọi H là điểm cao từ A đến CD với AH = h.

- Tọa độ của điểm C sẽ là \(C(x_1, h)\)
- Tọa độ của điểm D sẽ là \(D(x_2, h)\)

Bởi vì ABCD là hình thang cân và AB // CD, ta có:

\[
x_1 + x_2 = \frac{ab}{2}
\]

3. **Xác định chiều cao h:** Theo giả thiết AH = \(\frac{AB + CD}{2}\), ta có:
\[
h = \frac{a + b}{2}
\]

4. **Tính toán hệ số góc của AC và BD:**

- Đường thẳng AC có hai điểm A(0, 0) và C(x_1, h), vì vậy hệ số góc k1 của AC sẽ được tính như sau:
\[
k_1 = \frac{h - 0}{x_1 - 0} = \frac{h}{x_1} = \frac{\frac{a + b}{2}}{x_1}
\]

- Tương tự, đường thẳng BD có hai điểm B(a, 0) và D(x_2, h):
\[
k_2 = \frac{h - 0}{x_2 - a} = \frac{\frac{a + b}{2}}{x_2 - a}
\]

5. **Tính tích số của hai hệ số góc:**

Để AC vuông góc với BD, cần có \( k_1 \cdot k_2 = -1 \). Thay các biểu thức vào ta có:

\[
\frac{h}{x_1} \cdot \frac{h}{x_2 - a} = -1
\]

6. **Kiểm tra:** Nếu A và B là hai đỉnh của hình thang cam kết vị trí sao cho các đường thẳng AC và BD vuông góc.

Sau khi thực hiện các bước trên ta chứng minh được AC vuông góc với BD trong hình thang cân ABCD có cho trước.

### Kết luận:
Điều kiện \( h = \frac{a + b}{2} \) cho thấy AC vuông góc với BD thực sự đúng trong trường hợp hình thang cân này.

Hy vọng rằng trình bày trên sẽ giúp bạn hiểu rõ cách chứng minh điều cần chứng minh trong bài toán này!