Giải hệ phương trình, biết

Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 1 \\
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2
\end{cases}
\]

Ta đặt:

\[
a = \frac{1}{x-2}, \quad b = \frac{1}{y-1}
\]

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2a + 3b = 1 \quad (1) \\
a + b = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \( b \):

\[
b = 2 - a
\]

Thay \( b \) vào phương trình (1):

\[
2a + 3(2 - a) = 1
\]

Giải phương trình trên:

\[
2a + 6 - 3a = 1 \\
-a + 6 = 1 \\
-a = 1 - 6 \\
-a = -5 \\
a = 5
\]

Thay giá trị \( a \) vào phương trình (2):

\[
5 + b = 2 \\
b = 2 - 5 = -3
\]

Bây giờ ta có:

\[
a = 5, \quad b = -3
\]

Quay lại với các biến \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x-2} = a = 5 \implies x - 2 = \frac{1}{5} \implies x = \frac{1}{5} + 2 = \frac{11}{5}
\]

\[
\frac{1}{y-1} = b = -3 \implies y - 1 = -\frac{1}{3} \implies y = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\boxed{\left( \frac{11}{5}, \frac{2}{3} \right)}
\]