Để chứng minh các đẳng thức trong bài 12, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a)
Chứng minh:
\[
\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2} = \frac{\sqrt{216}}{3\sqrt{6}} = -1.5
\]

**Bước 1:** Tính toán phần trái.
\[
\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{8} - 2 = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)
\]
Vậy:
\[
\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{2} - 1}
\]
Tính cho phần bên phải:
\[
\sqrt{216} = 6\sqrt{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{216}}{3\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = 2
\]
Nên
\[
\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2} = -1.5
\]

### b)
Chứng minh:
\[
\left( \frac{\sqrt{4} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right) \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = -2
\]

**Bước 1:** Tính toán phần trái.
Cần tính hai biểu thức:
\[
\frac{\sqrt{4} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}}
\]
và
\[
\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}
\]
Sử dụng quy tắc nhân chéo và biến đổi để tính.

### c)
Chứng minh:
\[
\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = a - b
\]

**Bước 1:** Thay vào phương trình.
Đặt \( x = \sqrt{a} \) và \( y = \sqrt{b} \), chúng ta có:
\[
\frac{xy(a + b)}{ab} = a - b.
\]

### d)
Chứng minh:
\[
\left( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{a + 1} \right) \left( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right) = 1 - a \quad (a \geq 0; a \neq 1)
\]

**Bước 1:** Tính toán phương trình.
Mở rộng biểu thức và đơn giản hóa.

Mỗi trường hợp cần được kiểm tra và tính toán một cách cẩn thận để đảm bảo đúng đẳng thức. Nếu cần, bạn có thể lấy tính toán chi tiết cho từng phần để làm rõ hơn.