Để giải quyết bài toán này, trước tiên, chúng ta hãy vẽ hình để rõ ràng hơn.

**Hình vẽ:**
1. Vẽ tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông, B và C là hai đỉnh còn lại.
2. Từ A, vẽ trung tuyến AM (M là trung điểm của cạnh BC).
3. Vẽ đường cao AH từ A xuống cạnh BC.
4. Trên tia AM, lấy điểm D sao cho \(AM = MD\).
5. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ H đến AB, và F là chân đường vuông góc hạ từ H đến AC.

**Chứng minh:**

**a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật:**

- Mỗi cạnh của hình chữ nhật phải song song với các cạnh đối diện và các góc phải là 90 độ.
- Đầu tiên, ta có điểm M là trung điểm của cạnh BC, do đó AM là một trung tuyến.
- Vì AH là đường cao hạ từ A đến BC, nên có \(AH \perp BC\).
- Từ điểm H, hạ các đường vuông góc đến AB (tại điểm E) và AC (tại điểm F). Điều này có nghĩa là:
- \(HE \perp AB\)
- \(HF \perp AC\)
- Ta cũng có AM là trung tuyến, và do đó \(AM = MD\). Điều này cho thấy:
- cạnh AD = cạnh BC
- cạnh AB = cạnh CD
- Từ đó, sẽ có điều kiện đồng thời rằng \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), nên ABCD là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật:**

- Từ định nghĩa, tứ giác AFHE là hình chữ nhật nếu các góc AHF và AFE đều là 90 độ.
- Cả hai góc này đều là kết quả của việc hạ đường vuông góc từ H đến AB và AC.
- Do đó, ta có: \(HF \perp AC\) và \(HE \perp AB\), điều này có nghĩa rằng:
- Góc AHF = 90°
- Góc AFE = 90°
- Do đó, AFHE là một hình chữ nhật.

**c) Chứng minh EF vuông góc với AM:**

- Ta có hai đường EF và AM.
- EF là đường nối hai điểm chân vuông góc hạ từ H xuống AB và AC. Vì H là chân đường cao từ A xuống BC, nên H phải nằm trên đường thẳng AM (trung tuyến).
- Thực tế rằng EF được hạ vuông góc từ hai cạnh AB và AC, và AM là trung tuyến nối từ A xuống M, nơi M là trung điểm của BC, tự động cho thấy EF sẽ vuông góc với AM.

Nếu còn gì không rõ, bạn hãy hỏi thêm để mình hỗ trợ nhé!