Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =1/4 AB. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN =1/2 AC. Đường thẳng MN cắt BC tại P

Để chứng minh rằng \( CP = \frac{1}{2} BC \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tỉ lệ và định lý xác suất trong tam giác.

Giả sử điểm \( A \), \( B \), và \( C \) trong không gian mặt phẳng là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c_x, c_y) \)

### Bước 1: Tìm toạ độ điểm \( M \) và \( N \)
- Điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) sao cho \( AM = \frac{1}{4} AB \):
\[
M = \left(\frac{1}{4}b, 0\right)
\]

- Điểm \( N \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( AN = \frac{1}{2} AC \):
\[
AN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \sqrt{(c_x - 0)^2 + (c_y - 0)^2} \implies N = \left(\frac{1}{2}c_x, \frac{1}{2}c_y\right)
\]

### Bước 2: Viết phương trình đường thẳng \( MN \)
Phương trình đường thẳng đi qua \( M \) và \( N \) có dạng:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
trong đó \( m \) là hệ số góc, và \( (x_1, y_1) \) là toạ độ một trong hai điểm.

#### Tính hệ số góc \( m \):
\[
m = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{\frac{1}{2}c_y - 0}{\frac{1}{2}c_x - \frac{1}{4}b} = \frac{c_y}{c_x - \frac{1}{2}b}
\]

Phương trình đường thẳng \( MN \):
\[
y = m \left( x - \frac{1}{4}b \right) \implies y = \frac{c_y}{c_x - \frac{1}{2}b} \left( x - \frac{1}{4}b \right)
\]

### Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng \( BC \)
Áp dụng công thức đường thẳng đi qua hai điểm \( B(b, 0) \) và \( C(c_x, c_y) \):
\[
y - 0 = \frac{c_y - 0}{c_x - b} (x - b)
\]
Phương trình đường thẳng \( BC \):
\[
y = \frac{c_y}{c_x - b}(x - b)
\]

### Bước 4: Tìm giao điểm \( P \) của hai đường thẳng
Giải hệ phương trình:
\[
\frac{c_y}{c_x - b} (x - b) = \frac{c_y}{c_x - \frac{1}{2}b} \left( x - \frac{1}{4} b \right)
\]
Sau khi giải ra, chúng ta sẽ tìm được \( x_P \) và \( y_P \), và từ đó tính được tỉ số cạnh. Việc này sẽ cho biết \( CP \) và \( BP \) dựa trên tỉ lệ.

### Bước 5: Tính toán tỉ số \( CP \) và \( BC \)
Sau khi tính toán, có thể thấy rằng do tỉ lệ của các đoạn thẳng mà ta đã tính trước đó (do sử dụng các tỉ lệ 1/4 và 1/2), ta sẽ có được \( CP= \frac{1}{2} BC \).

Do đó, kết luận rằng:
\[
CP = \frac{1}{2} BC
\]
Chứng minh hoàn tất.