Cho tam giác ABC đều có cạnh = 8cm. Lấy D bất kỳ trên BC. Gọi H và K là hình chiếu của D lên AB và AC. Tính D thuộc BC sao cho diện tích tứ giác AHDK lớn

Để tính diện tích tứ giác \( AHDK \) lớn nhất khi \( D \) di động trên cạnh \( BC \) của tam giác đều \( ABC \) với cạnh bằng \( 8 \) cm, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tên các điểm**: Gọi \( O \) là trung điểm của \( BC \). Khi đó, \( A \) lõm vào chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \) .

2. **Chiều cao của tam giác đều**: Chiều cao \( h \) của tam giác đều \( ABC \) được tính bằng công thức:
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

3. **Diện tích tứ giác \( AHDK \)**: Diện tích tứ giác \( AHDK \) có thể được tính bằng:
\[
S_{AHDK} = S_{ABD} + S_{ACD}
\]
Trong đó, \( S_{ABD} \) là diện tích tam giác \( ABD \) và \( S_{ACD} \) là diện tích tam giác \( ACD \).

4. **Cách tìm \( D \)**: Ta cần vị trí \( D \) sao cho diện tích \( S_{AHDK} \) là lớn nhất. Vì \( D \) di chuyển trên \( BC \), khi \( D \) nằm ở điểm giữa \( BC \) thì có thể giúp \( AHDK \) có diện tích lớn hơn so với những điểm khác.

5. **Khái quát về vị trí**: Khi \( D \) nằm tại trung điểm \( O \) của \( BC \), thì hai diện tích \( S_{ABD} \) và \( S_{ACD} \) sẽ bằng nhau và lớn nhất.

6. **Kết luận**: Để diện tích tứ giác \( AHDK \) lớn nhất, \( D \) nên nằm tại trung điểm \( BC \).

Vậy \( D \) thuộc \( BC \) sao cho diện tích tứ giác \( AHDK \) lớn là tại điểm trung tâm.