Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ phương trình:
2x+2x+1+…+2x+2015=22019−8
Ta nhận thấy rằng phần bên trái là tổng của một cấp số cộng. Tổng này có thể tính bằng công thức tổng của cấp số cộng:
S=2x+2x+1+…+2x+2015=2x⋅(1+2+22+…+22015)
Sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân, ta có:
1+2+22+…+22015=22016−12−1=22016−1
Do đó,
S=2x⋅(22016−1)=2x⋅22016−2x=2x+2016−2x
Bây giờ thay vào phương trình ban đầu:
2x+2016−2x=22019−8
Ta chuyển 2^x qua phải:
2x+2016=22019−8+2x
Bây giờ, nhận thấy rằng
8=23, ta có thể viết lại phương trình:
2x+2016=22019−23+2x
Rút gọn lại:
2x+2016=22019+2x−23
Chúng ta cần biến đổi phương trình này để tìm được giá trị của
x. Đặt
2x=y:
2x+2016=y⋅22016
y⋅22016=22019+y−8
y⋅22016−y=22019−8
y(22016−1)=22019−8
Thay
22019=22016⋅23=8⋅22016:
y(22016−1)=8⋅22016−8
y(22016−1)=8(22016−1)
Nếu
22016−1≠0, ta chia hai vế cho
22016−1:
y=8
Ngược lại, quay lại với
y=2x:
2x=8
Điều này dẫn đến:
x=3
Vậy, số tự nhiên
x cần tìm là:
3