Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ phương trình:

\[
2^x + 2^{x+1} + \ldots + 2^{x+2015} = 2^{2019} - 8
\]

Ta nhận thấy rằng phần bên trái là tổng của một cấp số cộng. Tổng này có thể tính bằng công thức tổng của cấp số cộng:

\[
S = 2^x + 2^{x+1} + \ldots + 2^{x+2015} = 2^x \cdot (1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2015})
\]

Sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân, ta có:

\[
1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2015} = \frac{2^{2016} - 1}{2 - 1} = 2^{2016} - 1
\]

Do đó,

\[
S = 2^x \cdot (2^{2016} - 1) = 2^x \cdot 2^{2016} - 2^x = 2^{x + 2016} - 2^x
\]

Bây giờ thay vào phương trình ban đầu:

\[
2^{x + 2016} - 2^x = 2^{2019} - 8
\]

Ta chuyển 2^x qua phải:

\[
2^{x + 2016} = 2^{2019} - 8 + 2^x
\]

Bây giờ, nhận thấy rằng \(8 = 2^3\), ta có thể viết lại phương trình:

\[
2^{x + 2016} = 2^{2019} - 2^3 + 2^x
\]

Rút gọn lại:

\[
2^{x + 2016} = 2^{2019} + 2^x - 2^3
\]

Chúng ta cần biến đổi phương trình này để tìm được giá trị của \(x\). Đặt \(2^x = y\):

\[
2^{x + 2016} = y \cdot 2^{2016}
\]
\[
y \cdot 2^{2016} = 2^{2019} + y - 8
\]
\[
y \cdot 2^{2016} - y = 2^{2019} - 8
\]
\[
y(2^{2016} - 1) = 2^{2019} - 8
\]

Thay \(2^{2019} = 2^{2016} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{2016}\):

\[
y(2^{2016} - 1) = 8 \cdot 2^{2016} - 8
\]
\[
y(2^{2016} - 1) = 8(2^{2016} - 1)
\]

Nếu \(2^{2016} - 1 \neq 0\), ta chia hai vế cho \(2^{2016} - 1\):

\[
y = 8
\]

Ngược lại, quay lại với \(y = 2^x\):

\[
2^x = 8
\]

Điều này dẫn đến:

\[
x = 3
\]

Vậy, số tự nhiên \(x\) cần tìm là:

\[
\boxed{3}
\]