Tính các tổng sau

Để tính tổng \( p \) và \( Q \), chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng biểu thức.

### Tính tổng \( p \)

Tổng \( p \) được định nghĩa là:
\[
p = \left( 1 - \frac{1}{1+2} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{1+2+3} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{1+2+\ldots+30} \right)
\]
Ta cần tính giá trị của từng phần trong biểu thức.

Biểu thức tổng \( 1 + 2 + \dots + n \) được tính bằng công thức:
\[
1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Vậy với \( n = k \), ta có:
\[
1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}
\]
Do đó, với mỗi \( k \) từ 2 đến 30, ta có:
\[
1 - \frac{1}{1 + 2 + \ldots + k} = 1 - \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = 1 - \frac{2}{k(k+1)}
\]
Khi đó,:
\[
1 - \frac{2}{k(k+1)} = \frac{k(k+1) - 2}{k(k+1)} = \frac{k^2 + k - 2}{k(k+1)} = \frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)}
\]
Vì vậy, tổng \( p \) trở thành:
\[
p = \prod_{k=2}^{30} \frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)}
\]
Khi xét sản phẩm này, ta sẽ thấy rằng thành phần \( (k-1) \) ở tử số và \( k \) ở mẫu số sẽ có sự rút gọn. Cụ thể:
\[
p = \frac{1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 29 \cdots 32}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 30 \cdots 31}
\]
ta có thể thấy các số từ 2 đến 30 sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và chỉ còn lại các đầu mút:
\[
p = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{31} = \frac{16}{31}
\]

### Tính tổng \( Q \)

Tổng \( Q \) được định nghĩa là:
\[
Q = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) \cdots \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{99} \right)
\]
Có thể viết lại như sau:
\[
\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n} \right) = \frac{n-2}{2n}
\]
Bởi vì \( n \) chạy từ 3 đến 99, tức là \( n \) chẵn rồi lẻ:
\[
Q = \prod_{n=3, n \text{ là số nguyên từ } 3 \text{ đến } 99} \frac{n-2}{2n} = \prod_{n=3}^{99} \frac{n-2}{2n}
\]
Chúng ta sẽ tìm tổng của các bậc trong phạm vi đó. Chú ý rằng các nhân tử từ 3 đến 99 có thể được biểu diễn theo số nguyên từ 1 đến 97 (cho \( n-2 \)) và chia cho \( 2^{(99-2)} \cdots 2^{98} = 2^{(99-3) +1}\) (cho các mẫu số):
\[
Q = \frac{1 \cdot 2 \cdots 97}{2^{97} \cdot 3 \cdots 99}
\]
Chúng ta có thể sắp xếp lại nó và tìm được kết quả cuối cùng.

Do đó:
\[
p = \frac{16}{31}, \quad Q \text{(sẽ tính toán thêm để tìm kết quả)}
\]

Nó có thể được đơn giản hơn, áp dụng đạo hàm hay tích phân, cho thuật toán hoặc phương pháp khác nhé.