Giải các phương trình lượng giác sau

Để giải các phương trình lượng giác đã cho, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a/ \( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin \frac{\pi}{5} \)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:
\[
\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \sin \frac{\pi}{5}
\]
Bằng cách nhân cả hai vế với 2, ta được:
\[
\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2 \sin \frac{\pi}{5}
\]
Ta nhận thấy rằng:
\[
\cos x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \left( \cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x \right)
\]
với \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). Như vậy, phương trình trở thành:
\[
2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 2 \sin \frac{\pi}{5}
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{5}
\]
Ta sử dụng mối quan hệ:
\[
\sin \frac{\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos \frac{3\pi}{10}
\]
Vậy ta có:
\[
\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{3\pi}{10}
\]
Từ đó, suy ra:
\[
x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \pm \frac{3\pi}{10} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Từ đây, ta có hai trường hợp:
1. \( x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{3\pi}{10} \)
2. \( x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{3\pi}{10} \)

Giải cho \( x \):
1. \( x = 2k\pi + \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{3} \)
2. \( x = 2k\pi - \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{3} \)

Giải cụ thể cho từng k sẽ cho các nghiệm của phương trình.

### b/ \( \sin x = \cos x \)

Chia hai vế cho \(\cos x\) (với \(\cos x \neq 0\)), ta có:
\[
\tan x = 1
\]
Do đó,:
\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### c/ \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \)

Sử dụng định nghĩa;
\[
\sin A = \cos B \Longleftrightarrow A + B = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Từ đó:
\[
(x - \frac{\pi}{3}) + (x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi
\]

Giải phương trình:
\[
2x - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi
\]
Làm gọn:
\[
2x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi
\]
Suy ra:
\[
2x = k \cdot 2\pi + \pi \Longrightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2}
\]

### d/ \( \cos(x - \frac{\pi}{3})\cos x + \sin(x - \frac{\pi}{3})\sin x = \frac{1}{2} \)

Sử dụng công thức cosin, ta có:
\[
\cos((x - \frac{\pi}{3}) - x) = \frac{1}{2}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
\]
Vậy:
\[
-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Suy ra:
\[
x = \frac{2\pi}{3} + k\pi
\]

### Kết luận
Các nghiệm cho các phương trình trên là:
- a/: Các nghiệm phụ thuộc vào \(k\).
- b/: \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
- c/: \(x = k\pi + \frac{\pi}{2}\).
- d/: \(x = \frac{2\pi}{3} + k\pi\).