Để tính nhanh biểu thức \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \), chúng ta có thể nhận thấy rằng đây là một dãy số hạng hình học.

Cụ thể, tất cả các số hạng đều có cùng một mẫu số là \( 2^n \):

- \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} \)
- \( \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} \)
- \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} \)
- \( \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} \)
- \( \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} \)
- \( \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} \)
- \( \frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} \)
- \( \frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} \)

Dãy này có tổng \( n = 8 \) hạng và công bội là \( \frac{1}{2} \). Tổng của dãy số hạng hình học có thể tính bằng công thức:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a = \frac{1}{2} \) (số hạng đầu tiên),
- \( r = \frac{1}{2} \) (công bội),
- \( n = 8 \).

Áp dụng công thức vào, ta có:

\[
S_8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}}
\]

Giải từng bước:

1. Tính \( 1 - \frac{1}{256} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256} \).
2. Thay vào công thức:
\[
S_8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{255}{256}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} = \frac{255}{256}
\]