Để giải phương trình lượng giác \( \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \cos x + \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin x = \frac{1}{2} \), chúng ta có thể sử dụng công thức lượng giác:

\[
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
\]

Áp dụng công thức này vào phương trình của chúng ta, ta có:

\[
\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần giải phương trình:

\[
x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải từng trường hợp:

1. Trường hợp đầu tiên:

\[
x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

2. Trường hợp thứ hai:

\[
x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
x = 0 + 2k\pi
\]

Tóm lại, tập nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]