Để giải bài toán này, ta cần xét các tập \(A\) và \(B\) theo từng phần a và b.

### Phần a:
\(A \cap B = \emptyset\) và \(A = [m; m+2]\), \(B = [1; 3]\).

**Điều kiện để \(A\) và \(B\) không giao nhau**:

1. Để \(A\) ở bên phải của \(B\):
\[
m + 2 < 1 \Rightarrow m < -1
\]

2. Để \(A\) ở bên trái của \(B\):
\[
m > 3 \Rightarrow m > 3
\]

Vậy điều kiện cho \(m\) là:
\[
m < -1 \quad \text{hoặc} \quad m > 3
\]

### Phần b:
\(A \cup B = A\) với \(A = [-4; 1]\), \(B = [-3; m]\).

**Điều kiện để \(A \cup B = A\)** là \(B\) phải nằm trong \(A\), tức là:
\[
B \subseteq A \Rightarrow [-3; m] \subseteq [-4; 1]
\]

**Điều này xảy ra khi**:
1. Lớn hơn phía bên trái:
\[
-3 \geq -4 \quad (\text{luôn luôn đúng})
\]

2. Nhỏ hơn phía bên phải:
\[
m \leq 1
\]

Bên cạnh đó, để \(B\) là tập không rỗng, cần có \(m > -3\).

Vậy điều kiện cho \(m\) là:
\[
-3 < m \leq 1
\]

### Kết luận:
- **Phần a**: \(m < -1 \quad \text{hoặc} \quad m > 3\)
- **Phần b**: \(-3 < m \leq 1\)