Để chứng minh rằng có vô số số nguyên tố thuộc các dạng khác nhau, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp chính là phản chứng và lý luận. Dưới đây là các phần chứng minh cho từng phần trong bài:

### a) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố
Cách chứng minh cổ điển là dùng phương pháp phản chứng của Euclid.

Giả sử rằng có hữu hạn số nguyên tố: \( p_1, p_2, \ldots, p_n \).

Xét số \( N = p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n + 1 \).

Số \( N \) không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào trong \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) vì nếu chia, nó sẽ có dư 1. Điều này có nghĩa là \( N \) hoặc là một số nguyên tố mới lớn hơn tất cả \( p_i \), hoặc nó chia hết cho một số nguyên tố khác với tất cả các \( p_i \).

Do đó, không thể có hữu hạn số nguyên tố, và ta kết luận rằng có vô số số nguyên tố.

### b) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng \( 3k - 1 \)
Ta sẽ chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng \( 3k - 1 \) bằng cách phản chứng.

Giả sử rằng có hữu hạn số nguyên tố dạng \( 3k - 1 \): \( p_1, p_2, \ldots, p_n \).

Xét số \( N = 3 \times (p_1 p_2 \cdots p_n) - 1 \).

Dễ thấy rằng \( N \equiv 2 \mod 3 \) (bởi vì \( 3(p_1 p_2 \cdots p_n) \equiv 0 \mod 3 \) và \( -1 \equiv 2 \mod 3 \)).

Nếu \( N \) là số nguyên tố, thì nó có dạng \( 3k + 2 \), không thể có dạng \( 3k - 1 \).

Nếu \( N \) không phải là số nguyên tố, thì nó sẽ phân tích thành các thừa số nguyên tố. Tất cả các thừa số nguyên tố của \( N \) phải là một trong những số \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) hoặc là số nguyên tố mới mà ta chưa xác định.

Tuy nhiên, do \( N \equiv 2 \mod 3 \), không thể là số nguyên tố dạng \( 3k - 1 \) nếu tất cả số nguyên tố đều là dạng \( 3k - 1 \). Vậy nên kết luận rằng có vô số số nguyên tố dạng \( 3k - 1 \).

### c) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng \( 4k + 3 \)
Cách chứng minh tương tự như trên.

Giả sử rằng có hữu hạn số nguyên tố dạng \( 4k + 3 \): \( p_1, p_2, \ldots, p_n \).

Xét số \( N = 4(p_1 p_2 \cdots p_n) + 3 \).

Dễ thấy rằng \( N \equiv 3 \mod 4 \).

Nếu \( N \) là số nguyên tố, thì nó phải nằm trong dạng \( 4k + 3 \).

Nếu \( N \) không phải là số nguyên tố, nó sẽ phân tích thành các thừa số nguyên tố. Tất cả thừa số nguyên tố của \( N \) sẽ phải là một trong những số \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) hoặc sẽ có ít nhất một số nguyên tố mới.

Tuy nhiên, vì \( N \equiv 3 \mod 4 \), điều này có nghĩa là nó có thể là dạng \( 4k + 1 \) hoặc \( 4k + 3 \), nhưng không thể chỉ chứa các số nguyên tố dạng \( 4k + 3 \).

Do đó, chúng ta có kết luận rằng có vô số số nguyên tố dạng \( 4k + 3 \).

---

Tóm lại, ta đã chứng minh có vô số số nguyên tố cho từng dạng yêu cầu: tất cả, \( 3k - 1 \), và \( 4k + 3 \).