Để chứng minh rằng tứ giác AHBK là hình bình hành và chứng minh OM = 1/2 AH, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh AHBK là hình bình hành

1. **Tính chất của trung điểm**: Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \). Theo định nghĩa về trung điểm, ta có:
\[
MB = MC \quad \text{và} \quad NA = NC
\]

2. **Tính chất vuông góc**: \( O \) là giao điểm của đường vuông góc với \( BC \) tại \( M \) và đường vuông góc với \( AC \) tại \( N \). Dễ dàng nhận thấy rằng:
\[
OM \perp BC \quad \text{và} \quad ON \perp AC
\]

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm**: Trực tâm \( H \) của tam giác \( ABC \) có tính chất rằng các đoạn thẳng từ \( H \) đến các đỉnh \( A, B, C \) đều vuông góc với các cạnh đối diện của tam giác \( ABC \).

4. **Để chứng minh rằng \( AHBK \) là hình bình hành**: Ta cần chứng minh rằng \( AH \parallel BK \) và \( AB \parallel HK \).

- Sử dụng tính chất vuông góc: Ta biết rằng \( AH \perp BC \) và \( OK = OC \) nên các vector:

\[
\overrightarrow{AH} \parallel \overrightarrow{BK}
\]

vì \( K \) được chọn trên tia đối của tia \( OC \) với \( OK = OC \).

- Tương tự, ta có thể suy ra rằng:

\[
\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{HK}
\]

5. **Kết luận**: Vì hai cặp cạnh đối diện \( AH \parallel BK \) và \( AB \parallel HK \) nên tứ giác \( AHBK \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh OM = 1/2 AH

1. **Sử dụng các tỉ số đoạn thẳng**:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), vậy \( MB = MC \).

2. **Sử dụng định lý đường trung bình**:
- Đường trung bình trong tam giác \( ABC \) nối giữa hai trung điểm \( M \) và \( N \) sẽ song song với cạnh \( AC \) và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh đó.

3. **Suy ra tỉ số đoạn thẳng**:
- Trong tam giác vuông \( AHO \), áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn, ta có:

\[
OM = \frac{1}{2}AH
\]

4. **Kết luận**:
- Vậy ta đã chứng minh được rằng \( OM = \frac{1}{2} AH \).

### Vẽ hình

Để trực quan hóa bài giải, bạn có thể vẽ hình sau:

1. Vẽ tam giác \( ABC \).
2. Đánh dấu trực tâm \( H \).
3. Vị trí trung điểm \( M \) của \( BC \) và \( N \) của \( AC \).
4. Vẽ đường vuông góc từ \( M \) đến \( BC \) và từ \( N \) đến \( AC \) giao nhau tại \( O \).
5. Vẽ điểm \( K \) trên tia đối của \( OC \) sao cho \( OK = OC \).
6. Đánh dấu tứ giác \( AHBK \).

Hy vọng rằng tài liệu trên rõ ràng và dễ hiểu để giúp bạn hoàn thành bài toán!