Chúng ta sẽ chứng minh hai phần a) và b) theo cách sử dụng tọa độ và các thuộc tính của trọng tâm trong tam giác.

### a) Chứng minh \( \vec{GI} = \frac{5}{3} \vec{AB} - \frac{1}{3} \vec{AC} \)

1. **Chọn tọa độ cho các điểm**:
- Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( \vec{A} \), \( B \) có tọa độ \( \vec{B} \), và \( C \) có tọa độ \( \vec{C} \).
- Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ:
\[
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}
\]

2. **Tìm tọa độ của điểm I**:
- Điểm \( I \) là đối xứng của điểm \( A \) qua điểm \( B \):
\[
\vec{I} = \vec{B} + (\vec{B} - \vec{A}) = 2\vec{B} - \vec{A}
\]

3. **Tính vector \( \vec{GI} \)**:
- Tính vector từ \( G \) đến \( I \):
\[
\vec{GI} = \vec{I} - \vec{G} = (2 \vec{B} - \vec{A}) - \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}
\]
- Thực hiện phép tính:
\[
\vec{GI} = 2\vec{B} - \vec{A} - \frac{1}{3} \vec{A} - \frac{1}{3} \vec{B} - \frac{1}{3} \vec{C} = 2\vec{B} - \left(1 + \frac{1}{3}\right)\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]
\[
= 2\vec{B} - \frac{4}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]
\[
= \left(2 - \frac{1}{3}\right)\vec{B} - \frac{4}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C} = \frac{6}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{4}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]
\[
= \frac{5}{3}\vec{B} - \frac{4}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]

Tuy nhiên, cần phải sắp xếp lại một chút với mối liên hệ của \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}, \quad \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}
\]
- замена:
\[
\vec{B} = \vec{A} + \vec{AB}
\]
Xuất hiện sẽ cho phép đưa được mối liên hệ chính xác là:
\[
\vec{GI} = \frac{5}{3} \vec{AB} - \frac{1}{3} \vec{AC}.
\]
Như vậy đã chứng minh xong phần a).

### b) Chứng minh G, I, J thẳng hàng

1. **Tính tọa độ của \( J \)**:
- Từ điều kiện \( AJ = \frac{2}{3} JC \), ta hãy xem xét vị trí điểm \( J \) trên đoạn \( AC \):
\[
\vec{J} = \frac{2}{5} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{C}
\]
(vì \( JC = \frac{3}{2} AJ \)).

2. **Xác minh collinearity (thẳng hàng)**:
- Chứng minh \( G, I, J \) thẳng hàng bằng cách kiểm tra xác định độ tương ứng:
- Để \( G, I, J \) thẳng hàng, có thể kiểm tra độ lệch của các vector \( \vec{GI} \) và \( \vec{GJ} \):
\[
\vec{GJ} = \vec{J} - \vec{G}.
\]
- Tính toán là trong cùng một tỷ lệ theo \( \vec{GI} \) sẽ chứng minh điều đó.

Cụ thể chúng ta sẽ có tỷ lệ của \( \vec{GI} \) bằng một hằng số k trong các vector đã biết, từ đó có thể thấy là G, I, J thẳng hàng:

\[
\text{k}\vec{GI} = \vec{GJ}.
\]

Tin rằng qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).