Để chứng minh rằng \( \vec{AH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB} \), trước tiên, chúng ta cần xác định vị trí của điểm trọng tâm \( G \) và điểm \( H \).

1. **Xác định vị trí của trọng tâm \( G \)**:
Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được tính theo công thức:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
\]

2. **Điểm đối xứng \( H \)** của \( B \) qua \( G \):
Để tìm \( H \), chúng ta cần xác định vị trí của điểm đối xứng. Nếu \( \vec{B} \) là một điểm, thì điểm đối xứng với \( B \) qua \( G \) được tính bằng:
\[
\vec{H} = \vec{G} + (\vec{G} - \vec{B}) = 2\vec{G} - \vec{B}
\]
Thay thế \( \vec{G} \):
\[
\vec{H} = 2\left(\frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})\right) - \vec{B} = \frac{2}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) - \vec{B}
\]
Tính toán tiếp:
\[
\vec{H} = \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{B} + \frac{2}{3}\vec{C} - \vec{B} = \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

3. **Tính vector \( \vec{AH} \)**:
Vector từ \( A \) đến \( H \):
\[
\vec{AH} = \vec{H} - \vec{A}
\]
Thay thế \( \vec{H} \):
\[
\vec{AH} = \left(\frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B}\right) - \vec{A}
\]
Tính toán:
\[
\vec{AH} = \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B} - \vec{A} = \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{3}{3}\vec{A}
\]
\[
= \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{B} - \vec{A}
\]

4. **Thay \( \vec{A} \) và \( \vec{C} \) bằng vector AB và AC**:
Gọi \( \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \) và \( \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \) thì:
\[
\vec{B} = \vec{A} + \vec{AB}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{AC}
\]

Bây giờ ta có thể thay vào biểu thức:
Như vậy:
\[
\vec{AH} = \frac{2}{3}(\vec{A} + \vec{AC}) - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{AB}) - \vec{A}
\]
\[
= \frac{2}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{AB} - \vec{A}
\]
Dễ dàng nhận thấy rằng \( \vec{AH} \) có thể được viết lại thành:
\[
= \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng:
\[
\vec{AH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}
\]
đúng như yêu cầu.