Chứng minh: CH vuông góc với AB tại K, BK = IC, KI // BC

Để giải quyết bài toán này, ta hãy xem xét cẩn thận từng phần theo yêu cầu.

### a. CH vuông góc với AB tại K

Ta có tam giác ABC cân tại A (AC = AB), AM là đường trung tuyến, BI là đường cao. Do đó, I là trung điểm của BC, tức là BI ⊥ AC và I là điểm trung bình của đoạn BC.

Khi AM là đường trung tuyến, K là giao điểm của AM và BI (điểm H trong bài), ta có:

1. Từ tính chất của tam giác cân, góc AIB = góc AIA. Vì BI ⊥ AC, góc AIB = 90°.
2. Gọi CH là đường vuông góc với AB và xem CH cắt AB tại K.

Bởi vì K nằm trên AB và BI là đường đỏ, CH sẽ vuông góc với AB tại K khi H nằm trên BI và CH là đường thẳng đi qua H, do đó CH vuông góc với AB tại K.

### b. BK = IC

Từ việc I là điểm trung bình của BC, có thể chỉ ra rằng:

1. BI ⊥ AC cho nên I nằm ở chính giữa đoạn BC.
2. K là giao điểm của AM và BI. Trong tam giác ABC cân, khi AM là đường trung tuyến, K chia AM ra thành 2 đoạn tỷ lệ nhau.

Chúng ta có:

- BK đại diện cho phần đoạn từ B tới K.
- IC đại diện cho phần đoạn từ I tới C.

Vì I là trung điểm của BC nên BI = IC.

Khi ấy, theo tính chất của tam giác cân:

- BK = IC

### c. KI // BC

Để chứng minh KI // BC, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường trung bình trong tam giác.

1. Do K là điểm trên đường trung tuyến AM, ta có:

\[
\frac{AK}{KM} = \frac{AB}{MC} = \frac{AC}{BM} = 1
\]

2. BI ⊥ AC, vòng đối diện I nằm giữa B và C thì KI sẽ song song với BC, theo luật chiếu kẻ đoạn thẳng song song.

Vì tất cả các điểm K, B, I, C đều nằm trong cùng một đường nét cùng thuộc về tam giác cân, nên KI // BC.

Vậy ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu:
- CH vuông góc với AB tại K.
- BK = IC.
- KI // BC.

Tóm lại:
- (a) CH ⊥ AB tại K
- (b) BK = IC.
- (c) KI || BC.