Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + y = 15 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}
\end{cases}
\]

Bước 1: Từ phương trình đầu tiên, chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
y = 15 - x
\]

Bước 2: Thay giá trị của \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{15 - x} = \frac{3}{10}
\]

Bước 3: Tìm bậc chung cho các số hạng bên trái:

\[
\frac{(15 - x) + x}{x(15 - x)} = \frac{3}{10}
\]

Điều này trở thành:

\[
\frac{15}{x(15 - x)} = \frac{3}{10}
\]

Bước 4: Kết hợp hai vế:

\[
15 \cdot 10 = 3 \cdot x(15 - x)
\]

\[
150 = 3x(15 - x)
\]

Bước 5: Rút gọn phương trình:

\[
150 = 45x - 3x^2
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc 2:

\[
3x^2 - 45x + 150 = 0
\]

Bước 6: Chia phương trình cho 3:

\[
x^2 - 15x + 50 = 0
\]

Bước 7: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = 50\):

\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}
\]
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}
\]
\[
x = \frac{15 \pm 5}{2}
\]

Bước 8: Tính ra các giá trị của \(x\):

\[
x_1 = \frac{20}{2} = 10
\]
\[
x_2 = \frac{10}{2} = 5
\]

Bước 9: Tính giá trị của \(y\):

Khi \(x = 10\):

\[
y = 15 - 10 = 5
\]

Khi \(x = 5\):

\[
y = 15 - 5 = 10
\]

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:

\[
\begin{cases}
(x, y) = (10, 5) \\
(x, y) = (5, 10)
\end{cases}
\]

Do đó, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (10, 5)\) và \((5, 10)\).