Để chứng minh rằng hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx - y = 2 \\
x + my = 3
\end{cases}
\]

luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \), ta sẽ sử dụng phương pháp tính định thức.

**Bước 1: Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận**

Hệ phương trình có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

\[
\begin{bmatrix}
m & -1 \\
1 & m
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
3
\end{bmatrix}
\]

**Bước 2: Tính định thức của ma trận hệ số**

Định thức của ma trận hệ số là:

\[
D = m \cdot m - (-1) \cdot 1 = m^2 + 1
\]

**Bước 3: Phân tích định thức**

Ta thấy rằng \( D = m^2 + 1 \) luôn dương (vì \( m^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( m \), và thêm 1 thì không bao giờ bằng 0).

Khi định thức khác 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

**Kết luận a)** Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

---

**Phần b: Tìm \( m \) nguyên để \( x_0 y_0 < 0 \)**

Giải hệ phương trình để tìm nghiệm \( (x_0, y_0) \).

**Bước 1: Giải hệ phương trình**

Từ phương trình первый, ta có:

\[
y = mx - 2
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
x + m(mx - 2) = 3
\]
\[
x + m^2 x - 2m = 3
\]
\[
(1 + m^2)x = 3 + 2m
\]
\[
x_0 = \frac{3 + 2m}{1 + m^2}
\]

Tính \( y_0 \):

\[
y_0 = mx_0 - 2 = m\left(\frac{3 + 2m}{1 + m^2}\right) - 2
\]

**Bước 2: Tính tích \( x_0 y_0 \)**

Ta có:

\[
y_0 = \frac{m(3 + 2m)}{1 + m^2} - 2 = \frac{m(3 + 2m) - 2(1 + m^2)}{1 + m^2} = \frac{3m + 2m^2 - 2 - 2m^2}{1 + m^2} = \frac{m - 2}{1 + m^2}
\]

Rồi tính tích:

\[
x_0 y_0 = \left(\frac{3 + 2m}{1 + m^2}\right)\left(\frac{m - 2}{1 + m^2}\right) = \frac{(3 + 2m)(m - 2)}{(1 + m^2)^2}
\]

**Bước 3: Điều kiện \( x_0 y_0 < 0 \)**

Để \( x_0 y_0 < 0 \), ta cần:

1. \( (3 + 2m)(m - 2) < 0 \)

Phân tích bất phương trình này:

- \( 3 + 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \)
- \( m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2 \)

Xét các khoảng:

- \( m < -\frac{3}{2} \): dương
- \( -\frac{3}{2} < m < 2 \): âm
- \( m > 2 \): dương

Vậy, nghiệm của bất phương trình là:

\[
-\frac{3}{2} < m < 2
\]

**Kết luận b)** \( m \) nguyên thỏa mãn \( m = -1, 0, 1 \).