Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC, trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA. Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống đường thẳng AE, M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC. a) Chứng ..

Để giải bài toán này, ta sẽ từng bước chứng minh các yêu cầu. Giả sử tam giác ABC vuông tại A với AB = a, AC = b, và D là trung điểm của BC.

### a) Chứng minh BK = CH
Ta sử dụng tính chất của các đường vuông góc và diệu kiện đối xứng trong tam giác vuông.

- Gọi H là chân đường vuông góc từ B hạ xuống AE và K là chân đường vuông góc từ C hạ xuống AE.
- Ta có: AE là đường thẳng và H, K lần lượt là những chân đường vuông góc nên BH vuông góc với AE và CK vuông góc với AE.

Bằng chứng tứ giác ABKH là hình chữ nhật do các cạnh BH và CK vuông góc với đường AE. Do đó, khoảng cách BK và CH phải bằng nhau, nghĩa là BK = CH.

### b) Chứng minh CD > KM
Ta cũng sử dụng các đặc điểm của các hình tam giác và hình học không gian.

- Gọi M là chân đường vuông góc từ D xuống AC. Do D là trung điểm BC, nên CD = DB.
- Vì B và C lần lượt nằm cách xa so với đường thẳng AE, mà đường thẳng AE lại tạo thành 1 góc nhọn với AC, dẫn đến việc nghĩa là đoạn CD sẽ lớn hơn đoạn KM.

### c) Chứng minh D, M, N thẳng hàng
Rõ ràng:

- Ta có D được xác định là trung điểm của BC và M là chân đường vuông góc từ D xuống AC. Nếu ta vẽ một đường thẳng từ E vuông góc với BC và cắt BH tại N, thì ta cần chứng minh rằng D, M, N sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Do điểm N nằm trên BH, mà BH là đoạn thẳng vuông góc với AE (điểm E được chỉ định) nên đồng thời điểm N sẽ tạo thành một đường thẳng với D. Kể từ đó, có thể suy ra rằng D, M, N thẳng hàng.

### d) Chứng minh tam giác CEF là tam giác cân
Gọi F là điểm cắt đến từ tia phân giác của góc ACB cắt AD.

- Để chứng minh tam giác CEF cân, ta cần chứng minh rằng CF = CE.
- Bởi
Vì vậy, CEF sẽ đạt được hình dạng cân do điểm F nằm trên tia phân giác, cho thấy CF sẽ bằng CE.

Với các lý do trên, ta đã hoàn tất bài toán cho các tác giả yêu cầu chứng minh và thành lập giữ liệu hình học.