Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác vuông \(ABC\) với các điểm như đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh:
\[
\frac{EB}{FC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2
\]

**Giải:**

1. **Sử dụng định lý lượng giác:**
- Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
\frac{EB}{AB} = \sin A \quad \text{và} \quad \frac{FC}{AC} = \sin B
\]
- Do đó,
\[
EB = AB \cdot \sin A \quad \text{và} \quad FC = AC \cdot \sin B
\]

2. **Tính tỉ số:**
- Tính tỉ số \(\frac{EB}{FC}\):
\[
\frac{EB}{FC} = \frac{AB \cdot \sin A}{AC \cdot \sin B}
\]

3. **Sử dụng định lý sin trong tam giác:**
- Ta biết rằng trong tam giác vuông:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{\sin B}{\sin A}
\]
- Thay vào tỉ số:
\[
\frac{EB}{FC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin A}{\sin B} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2
\]

### b) Chứng minh:
\[
BC \cdot BE \cdot CF = AH^2
\]

**Giải:**

1. **Sử dụng định lý Pytago:**
- Trong tam giác \(ABC\), có:
\[
AH^2 = AB \cdot AC
\]

2. **Tính tích các đoạn thẳng:**
- Từ các tỉ số ở phần a, ta có:
\[
BE = AB \cdot \sin A \quad \text{và} \quad CF = AC \cdot \sin B
\]
- Do đó:
\[
BC \cdot BE \cdot CF = AB \cdot AC \cdot \sin A \cdot \sin B
\]

3. **Sử dụng công thức sin:**
- Trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
\sin A \cdot \sin B = \frac{AH}{BC}
\]
- Áp dụng sẽ dẫn đến:
\[
AH^2 = BC \cdot BE \cdot CF
\]

Từ hai phần trên, ta đã chứng minh xong các đẳng thức yêu cầu.