### Tập hợp con của tập A

Cho tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), các tập hợp con của A là:

1. Tập rỗng: \( \emptyset \)
2. Tập có 1 phần tử: \( \{1\} \), \( \{2\} \), \( \{3\} \), \( \{4\} \)
3. Tập có 2 phần tử: \( \{1, 2\} \), \( \{1, 3\} \), \( \{1, 4\} \), \( \{2, 3\} \), \( \{2, 4\} \), \( \{3, 4\} \)
4. Tập có 3 phần tử: \( \{1, 2, 3\} \), \( \{1, 2, 4\} \), \( \{1, 3, 4\} \), \( \{2, 3, 4\} \)
5. Tập đầy đủ: \( \{1, 2, 3, 4\} \)

Tổng cộng có \( 2^4 = 16 \) tập hợp con.

### Chứng minh \( A \subset B \)

Cho \( A = \{ x \in \mathbb{N} | x < 2 \} \) thì:

- Xét các giá trị \( x \) trong tập số tự nhiên \( \mathbb{N} \) nhỏ hơn 2, ta có:
- \( 0 \) (không thuộc \( \mathbb{N} \) nếu không tính 0),
- \( 1 \) (thuộc \( \mathbb{N} \)).

Vậy \( A = \{1\} \).

Cho \( B = \{ x \in \mathbb{Z} | x(x^2 - 1) = 0 \} \):

- Phương trình trên có nghiệm khi:
- \( x = 0 \)
- \( x^2 - 1 = 0 \) tức là \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \).

Vậy \( B = \{0, 1, -1\} \).

### Kết luận

Vì \( A = \{1\} \) và tất cả các phần tử của A đều nằm trong B:

\[ A \subset B \]

Nên ta đã chứng minh thành công.