Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các hình học và sử dụng một số tính chất của tam giác.

1. **Xác định các góc trong tam giác ABC:**
- Do ABC là tam giác cân tại A, với \(\angle A = 40^\circ\), ta có:
\[
\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ.
\]

2. **Xác định các góc liên quan đến E và F:**
- Gọi \(\angle EBA = 30^\circ\) và \(\angle FBC = 30^\circ\).
- Từ đó ta có:
\[
\angle ABE = \angle ABC - \angle EBA = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ.
\]
- Tương tự, ta tính được:
\[
\angle ACF = \angle ABC - \angle FBC = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ.
\]

3. **Xác định tam giác AEF:**
- Gọi \(\angle AEF\) là góc mà ta muốn tính.
- Ta biết rằng:
- \(\angle AEB = 180^\circ - (\angle ABE + \angle EBA) = 180^\circ - (40^\circ + 30^\circ) = 110^\circ\).
- \(\angle AFB = 180^\circ - (\angle ACF + \angle FBC) = 180^\circ - (40^\circ + 30^\circ) = 110^\circ\).

4. **Tính góc AEF:**
- Trong tam giác AEF:
- Ta có \(AE + AF\) tạo thành một góc vuông với đường hạ từ A xuống mặt phẳng EF tại H.
- Từ lý thuyết về tổng ba góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle AEF + \angle EAB + \angle FBA = 180^\circ.
\]
- Thay các giá trị:
\[
\angle AEF + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ.
\]
- Giải phương trình:
\[
\angle AEF + 60^\circ = 180^\circ \implies \angle AEF = 120^\circ.
\]

Vậy, góc \( \angle AEF = 120^\circ \).