Để rút gọn biểu thức \( C = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} - \frac{3x+9}{x-9} \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức C

1. **Tìm mẫu số chung** cho các phân thức trong biểu thức. Mẫu số chung là \( \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} \cdot (x-9) \).

2. **Phân tích từng phần**:
- Đối với \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} \): nhân và chia cho \( \sqrt{x-3} \cdot (x-9) \).
- Đối với \( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \): nhân và chia cho \( \sqrt{x+3} \cdot (x-9) \).
- Đối với \( \frac{3x + 9}{x - 9} \): nhân và chia cho \( \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} \).

3. **Thực hiện rút gọn** từng phần và cộng các phần lại với nhau.

### b) Tìm giá trị của x để \( C = \frac{1}{3} \)

1. **Giải phương trình** \( C = \frac{1}{3} \).

2. **Thay \( C \) bằng biểu thức đã rút gọn** ở bước a, sau đó biến đổi để tìm x.

### c) Chứng minh với x thoả mãn ĐKXĐ thì A < 2

1. **Tìm điều kiện xác định** của biểu thức đã rút gọn.

2. **Chứng minh** rằng dưới điều kiện xác định đó, giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) nhỏ hơn 2 bằng cách sử dụng đạo hàm hoặc xét tính đồng biến, nghịch biến.

### d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

1. **Sử dụng đạo hàm** để tìm các điểm cực trị của \( A \).

2. **Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị** và ranh giới để xác định giá trị lớn nhất.

Nếu cần thêm hướng dẫn chi tiết cho từng bước, hãy cho tôi biết!