Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học, đặc biệt là các định lý về tam giác vuông và hình đồng dạng.

### Phần a: Chứng minh tam giác AID = tam giác ABE

1. **Điều kiện cạnh**:
- Ta có \(AD = AE\) (theo giả thiết).
- \(AB = AC\) (giả thiết của tam giác vuông cân tại A).

Từ đó, ta có \(AD = AE\).

2. **Điều kiện góc**:
- Góc \(A\) là 90 độ, suy ra góc \(AID = ABE\).
- Do \(AD \perp BE\) (vì đường từ A đến D vuông góc với BE), nên góc \(AID\) cũng bằng 90 độ.

Từ các điều kiện trên, ta có:
- \(AD = AE\)
- Góc \(AID = ABE\)
- \(AI = AB\) (vì AD vuông góc với BE).

Suy ra \( \triangle AID \cong \triangle ABE \) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (C.G.C).

### Phần b: Chứng minh CM = MN

Để chứng minh \(CM = MN\), ta cần xem xét các hình chiếu và tính chất các đường vuông góc đã được dựng.

1. **Tính chất góc vuông**:
- Từ A, đường AD vuông góc với BE.
- Do đó, \(M\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BE\) và \(N\) là hình chiếu của \(D\) lên \(BC\).

2. **Tính đồng dạng**:
- Từ các tính chất đã chứng minh ở trên, ta có \( \triangle AID \cong \triangle ABE\) nên các hình chiếu này tạo thành các cạnh tương ứng bằng nhau.

3. **Xét đoạn thẳng**:
- Mọi đoạn thẳng ABE đều tạo ra góc vuông với trực tiếp và hình chiếu cho biết rằng \(CM\) và \(MN\) là các đoạn thẳng nằm trong mối quan hệ vuông góc.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \(CM = MN\), nhờ vào tính chất thẳng đứng, vuông góc và các hình học tương ứng.

### Kết luận:
Thông qua các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được:
- a) Tam giác AID = tam giác ABE.
- b) CM = MN.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp ích cho bạn!