Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức

\[
A = \left( \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1}
\]

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần trong biểu thức \( A \).

1. Bước 1: Xác định mẫu số chung của các phân số. Mẫu số chung có thể là \((\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})\).

2. Bước 2: Quy đồng các phân số.

3. Bước 3: Rút gọn tổng các phân số để có được biểu thức đơn giản hơn.

### b) Tìm giá trị của \( x \) để \( A \leq 0 \)

Sau khi đã rút gọn, ta sẽ phân tích dấu của \( A \).

1. Ta sẽ tìm miền giá trị của \( x \) mà trong đó \( A \) âm. Phân tích các yếu tố trong biểu thức \( A \) để tìm các điều kiện cần thiết.

### c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \):

1. Sử dụng tính chất đạo hàm (nếu cần) để tìm các giá trị cực trị của \( A \).

2. Tính \( A \) tại các điểm cần thiết (các giá trị giới hạn hoặc giá trị nghi vấn).

Nếu cần triển khai chi tiết từng bước, hãy cho tôi biết!