Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BE vuông góc AC, CF vg AB. a) C/m TG EBC = TG FCB. b) C/m TG BEA = TG CFA

Để chứng minh các tỉ số diện tích của các tam giác trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và một số công thức về diện tích tam giác.

Giả sử tam giác ABC cân tại A, tức là \( AB = AC \).

**a) Chứng minh \( S_{EBC} = S_{FCB} \)**:

Từ đề bài, ta có điểm E nằm trên cạnh AC sao cho BE vuông góc với AC, và điểm F nằm trên cạnh AB sao cho CF vuông góc với AB.

- Diện tích tam giác EBC:
\[
S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE
\]

- Diện tích tam giác FCB:
\[
S_{FCB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF
\]

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên \( AB = AC \). Do đó:
\[
S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \quad \text{và} \quad S_{FCB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF
\]

Để chứng minh \( S_{EBC} = S_{FCB} \), ta cần chứng minh rằng \( BE = CF \).

Trong tam giác ABC cân, BE và CF đều là độ cao từ các đỉnh B và C xuống các cạnh tương ứng, do đó chúng có thể bằng nhau nếu E và F là những điểm chiếu lên các cạnh AC và AB tại cùng một điểm mà BE = CF.

**b) Chứng minh \( S_{BEA} = S_{CFA} \)**:

- Diện tích tam giác BEA:
\[
S_{BEA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE
\]

- Diện tích tam giác CFA:
\[
S_{CFA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CF
\]

Vì tam giác ABC cân tại A (AB = AC), ta có:
\[
S_{BEA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \quad \text{và} \quad S_{CFA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF
\]

Cũng như ở phần a, vì BE và CF là các độ cao từ các điểm B và C xuống cạnh AC và AB, diện tích hai tam giác này sẽ bằng nhau nếu BE = CF.

Tóm lại, ta đã chứng minh:
- \( S_{EBC} = S_{FCB} \)
- \( S_{BEA} = S_{CFA} \)

Hy vọng bài giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về các tỉ số diện tích trong tam giác cân.