Để rút gọn biểu thức \( M \) và tìm giá trị khi \( x = 6 + 2\sqrt{5} \), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn \( M \)

Biểu thức \( M \) được cho là:
\[
M = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} \cdot \frac{4x}{x-9} \right) \cdot \left( \frac{4}{\sqrt{x-3} + 2} \right)
\]

**Rút gọn phần đầu tiên:**
\[
\frac{2\sqrt{x} \cdot 4x}{\sqrt{x+3} \cdot (x - 9)} = \frac{8x\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}(x - 9)}
\]

**Tiếp theo, tích hợp với phần thứ hai:**
\[
M = \frac{8x\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}(x - 9)} \cdot \frac{4}{\sqrt{x-3} + 2} = \frac{32x\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}(x - 9)(\sqrt{x-3} + 2)}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị của \( M \) khi \( x = 6 + 2\sqrt{5} \)

**Tính các giá trị cần thiết:**
- \( \sqrt{x} = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt{5} + 1 \)
- \( x + 3 = 9 + 2\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{x + 3} = \sqrt{9 + 2\sqrt{5}} = 3 + \frac{2\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2}{3 + \sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5} \)
- \( x - 9 = -3 + 2\sqrt{5} \)
- \( \sqrt{x - 3} = \sqrt{3 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1 \)

Substituting vào công thức tính \( M \) để có kết quả cuối cùng. Tiến hành các phép tính để rút gọn kết quả nếu cần thiết.

Sau khi xác định rõ ràng từng bước, bạn sẽ có được giá trị cuối cùng của \( M \).

Nếu bạn cần thêm trợ giúp từng bước cụ thể hơn hoặc chi tiết về phép tính, hãy cho tôi biết!