Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối mà bạn đã nêu.

Ta có:

\[
|x - 7| + |x - 5| + |x| = \sqrt{31}
\]

Xét từng phần trong biểu thức này, ta có thể sử dụng tính chất:

\[
|a + b| \leq |a| + |b|
\]

Đặt \(a = |x - 7| + |x - 5|\) và \(b = |x|\). Sau đó, theo tính chất giá trị tuyệt đối:

\[
|x - 7| + |x - 5| + |x| \geq ||x - 7| - |x - 5|| + |x|
\]

Chúng ta sẽ tính giới hạn của hai phần \(|a|\) và \(|b|\):

1. **Tìm max của \( |x - 7| + |x - 5| + |x| \)**:

Dễ thấy rằng giá trị lớn nhất của tổng ba phần này xảy ra khi \(x\) ở bên trái hoặc bên phải của các điểm 5 và 7.

2. **Giới hạn tối thiểu**:
- Tại \(x = 6\):
\[
|x - 7| = 1, \quad |x - 5| = 1, \quad |x| = 6 \Rightarrow |x - 7| + |x - 5| + |x| = 1 + 1 + 6 = 8
\]

- Tại \(x = 0\):
\[
|x - 7| = 7, \quad |x - 5| = 5, \quad |x| = 0 \Rightarrow |x - 7| + |x - 5| + |x| = 7 + 5 + 0 = 12
\]

- Tại \(x = -1\):
\[
|x - 7| = 8, \quad |x - 5| = 6, \quad |x| = 1 \Rightarrow |x - 7| + |x - 5| + |x| = 8 + 6 + 1 = 15
\]

Tương tự, bạn có thể tính cho những trường hợp khác để tìm giá trị tối đa. Cuối cùng, không có giá trị nào cho \(|x - 7| + |x - 5| + |x| = \sqrt{31}\) vì luôn lớn hơn một giới hạn nhất định.

Tóm lại, không có số thực \(x\) nào thỏa mãn phương trình \( |x - 7| + |x - 5| + |x| = \sqrt{31} \) vì giá trị tổng ba phần luôn lớn hơn hoặc bằng 8 (các tính toán cho thấy rằng giá trị này luôn vượt quá \(\sqrt{31} \approx 5.57\)).